Question

在1×3的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值．

Answer 1

分析：由于小矩形放置的位置不确定，故应分三种情况讨论：
（1）两个小矩形都“竖放”；（2）两个小矩形都“横放”；（3）两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”．

解答：解：两个小矩形的放置情况有如下几种：
（1）两个小矩形都“竖放”，如图（一），在这种放法下，周长和最大的两个小矩形，边长分别为1和

1

3

，
故此时周长和的最大值为

16

3

．

（2）两个小矩形都“横放”，如图（二）及图（三）所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是
2（a+3a）+2[1-a+3（1-a）]=8．

（3）两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图（四），这时两个小矩形的周长和为
2（a+3a）+2（3-a+

3-a

3

）=8+

16a

3

，
因为0＜3a≤1，即0＜a≤

1

3

，故当a=

1

3

时，此时两个小矩形的周长和最大为

88

9

，
综上三种情形，知所求的最大值为

88

9

．
故答案为：

88

9

．

点评：本题考查的是相似多边形的对应边成比例，利用分类讨论的思想进行分析是解答此题的关键．