Question

若1+2+3+…+k之和为一完全平方数N²，并且N小于100，则K的可能值是

 

．

Answer 1

分析：根据等差数列求和公式，求出1+2+3+…+k的和，再根据完全平方数的定义得出

k=2α2 k+1=β2

或

k=α2 k+1=2β2

（α，β是正整数），依次代入计算即可得出．

解答：解：1+2+3+…+k=

1

2

k(k+1)=N2
因为（k，k+1）=1，
所以

k=2α2 k+1=β2

或

k=α2 k+1=2β2

（α，β是正整数）
经逐一代入得到满足N＜100，即αβ＜100的解有k=1，8或49．
故答案为1，8或49．

点评：本题考查了等差数列求和公式和完全平方数，解题的关键是由等差数列的和得出方程组．