Question

如图，抛物线y=x²+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

Answer 1

（1）∵点A（－1，0）在抛物线y=x² + bx－2上，

∴× (－1 )² + b× (－1) –2 = 0，解得b =

∴抛物线的解析式为y=x²－x－2. y=x²－x－2

= ( x² －3x－ 4 ) =(x－)²－,

∴顶点D的坐标为 (, －).

（2）当x = 0时y = －2,       ∴C（0，－2），OC = 2。

当y = 0时，  x²－x－2 = 0，      ∴x₁ = －1, x₂ = 4,     ∴B (4,0)

∴OA = 1,    OB = 4,    AB = 5.

∵AB² = 25,    AC² = OA² + OC² = 5,    BC² = OC² + OB² = 20,

∴AC² +BC² = AB².                ∴△ABC是直角三角形.

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。

解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E.

∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM

∴△C′OM∽△DEM.

∴

∴，∴m =．

解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n ,

则，解得n = 2,  .

∴ .

∴当y = 0时， ，

 .     ∴.