Question

如图，以正方形ABCD的边AB向形外作等边△ABE，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°到BN位置，连接EN、AM、CM.

（1）求证△AMB≌△ENB   （3分）

（2）①当M点在                 时，AM+CM的值最小.（3分）

     ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由.（3分）

（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长.（3分）

 

Answer 1

1）略   （3分）    2）①BD中点    （3分）②连EC，EC与BD的交点为M  （1分）

由1）知EN＝AM  再证△BMN是等边三角形   ∴MN＝BM

则AM+BM+CM＝EN+MN+CM＝EC

由“两点之间线段最短”，得AM+BM+CM＝EN+MN+CM＝EC为最小值          （3分）

3）设正方形边长BC＝

过点E作EF⊥BC     可证中，∠EBF＝30°  ∴EF＝   FB＝

∵中，

∴

解方程得     （

∴正方形边长为            3分