Question

如图，△ABC的三条角平分线交于I点，AI交BC于点D．
求证：∠CID+∠ABI=90°．

Answer 1

分析：根据三角形的外角性质知∠CID=∠IAC+∠ICA，而I是△ABC三条角平分线的交点，所以∠IAC、∠ICA、∠ABI分别是△ABC三个内角的一半，那么它们的度数应等于三角形内角和的一半，由此得证．

解答：证明：∵I是△ABC的三条角平分线的交点，
∴∠IAC=

1

2

∠BAC，∠ICA=

1

2

∠BCA，∠ABI=

1

2

∠ABC，
由三角形的内角和定理知：
∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
∴∠IAC+∠ICA+∠ABI=90°；
由三角形的外角性质知：
∠CID=∠IAC+∠ICA；
故∠CID+∠ABI=90°．

点评：此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理的综合应用能力．