题目内容
如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=
，则PE+PF的长是
- A.
- B.6
- C.
- D.
C
分析：作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求得．
解答：
解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM
∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2
x，BC=2
x
∵BC=
∴x=2
∴PE+PF=AC=2×2=4．
（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，
S△PBD=
BD•PE，
S△PCD=DC•PF，
S△BCD=BD•AC，
所以PE+PF=AC=2×2=4．
故选C．
点评：解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．
分析：作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求得．
解答：
解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB
∵PM∥AB．
∴∠B=∠MPC
∴∠DCB=∠MPC
又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°
∴△PFC≌△CMP
∴PF=CM
∴PE+PF=AC
∵AD：DB=1：3
∴可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2
x，BC=2x∵BC=
∴x=2
∴PE+PF=AC=2
×2=4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，
S△PBD=
BD•PE，S△PCD=
DC•PF，S△BCD=
BD•AC，所以PE+PF=AC=2
×2=4．故选C．
点评：解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．
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