Question

【题目】如图，△ABC和△ADE中，，，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，AI、CI分别平分，．

（1）求证：；

（2）设，请用含的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）当时，的取值范围为，分别直接写出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）6-x,3; (3)

【解析】

（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．

（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．

（3）应用三角形内角定理及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．

（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）

∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，

即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE．

（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．

当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．

（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．

∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．

∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，

∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，

∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）

α+105°．

∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．