Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°．以BC为直径作⊙O交AB于点D．若AD=2，则⊙O的面积为________．（结果保留π）

Answer 1

2π
分析：首先连接CD，由BC为直径，可得CD⊥AB，又由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，可得△ABC是等腰直角三角形，根据三线合一的性质，可得AB=2AD，又由三角函数，可求得BC的值，继而求得答案．
解答：解：连接CD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
即CD⊥AB，
∴AB=2AD=2×2=4，
∴BC=AB•cos45°=4×=2，
∴OB=BC=，
∴⊙O的面积为：2π．
故答案为：2π．
点评：此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．