Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE、DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿AFD的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm²）（这里规定线段是面积为0的几何图形），点P运动的时间为x（s）

（1）当点P运动到点F时，CQ=　  　cm；

（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；

（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．

 

Answer 1

【答案】

（1）5。

（2）（cm）。

（3）。

【解析】

试题分析：（1）当点P运动到点F时，求出AF=FC=3cm，BQ=AF=3cm，即可求出答案。

（2）根据在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上得出方程t+t﹣3=8，求出即可。

（3）求出DE=AC=3，DF=BC=4，证△MBQ∽△ABC，求出MQ=，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，根据y=PN•PD代入求出即可；②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，根据图形得出；③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，根据图形得出，求出即可。　

解：（1）当点P运动到点F时，

∵F为AC的中点，AC=6cm，∴AF=FC=3cm。

∵P和Q的运动速度都是1cm/s，∴BQ=AF=3cm。

∴CQ=8cm﹣3cm=5cm。

（2）设在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上，如图，

则t+t﹣3=8，∴t=。

∴BQ的长度为×1=（cm）。

（3）∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，

∴DE=AC=×6=3，DF=BC=×8=4。

∵MQ⊥BC，∴∠BQM=∠C=90°。

∵∠QBM=∠CBA，∴△MBQ∽△ABC。

∴，即。∴MQ=。

分为三种情况讨论：

①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图，

y=PN•PD=（7﹣x），

即。

②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图，

，

即y=﹣6x+33。

③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图，

，

即y=6x﹣33。

综上所述，当点P在线段FD上运动时， y与x之间的函数关系式为。