Question

【题目】关于的方程：①和关于的一元二次方程：②(、、均为实数)，方程①的解为非正数.

(1)求的取值范围.

(2)如果方程②的解为负整数，，且为整数，求整数的值.

(3)当方程②有两个实数根、，满足，且为正整数，试判断是否成立？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)且；(2)或；(3)成立，理由见解析.

【解析】

（1）解方程①得到x含k的解，根据题意得到k的不等式求解得到k≤2，当k=1时，不满足为一元二次方程，即k≠1，同时满足即为k的取值范围；

（2）将m，n含有k的值代入原方程变形得，利用韦达定理得到关于k的式子，根据题意求出符合题意的整数k，进而求得答案；

（3）由（1）中k的范围得到k=2，代入原方程得到，则x1+x2=﹣2m，代入式子整理得到n=2m2﹣5，根据一元二次方程根的判别式得到关于m的不等式即可.

解：（1）解方程①，

2x﹣2k=x﹣4，

∴x=2k﹣4，

∵方程①的解为非正数，

∴2k﹣4≤0，

∴k≤2，

当k=1时，k﹣1=0，不满足为一元二次方程，

∴且；

（2）∵，，

∴m=k﹣2，n=2k﹣6，

把m=k﹣2，n=2k﹣6代入方程②得：

，

∵△，

∴x1+x2=，x1·x2=，

∵方程②的解为负数，

∴，，

解得k＞3或k＜1，

∵k≤2，

∴k＜1，

∵方程②的解为整数，

∴，为整数，

解得k=0或﹣1，

∴m=﹣2或﹣3；

（3）成立，理由如下：

由（1）得且，

∵k为正整数，

∴k=2，

∴方程②为，

∴x1+x2=﹣2m，

∵，

∴，

∴2m2=n+5，即n=2m2﹣5，

∵方程②有两个实数根，

∴△=4m2-4（n+1）=4m2﹣4（2m2﹣4）≥0，

整理得m2≤4，

∴.