Question

如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式为

，

解得：．

∴抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3；

（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x²﹣2x+3，

∴对称轴l=﹣=﹣1，

∴E点的坐标为（﹣1，0）．

如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；

当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．

∴，

∴MP=3EM．

∵P的横坐标为t，

∴P（t，﹣t²﹣2t+3）．

∵P在二象限，

∴PM=﹣t²﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，

∴﹣t²﹣2t+3=3（﹣1﹣t），

解得：t₁=﹣2，t₂=﹣3（与C重合，舍去），

∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）²﹣2×（﹣2）+3=3．

∴P（﹣2，3）．

∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；

②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴直线CD的解析式为：y=x+1．

设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），

∴NM=t+1．

∴PN=PM﹣NM=t²﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t²﹣+2．

∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，

∴S_△PCD=PM•CM+PN•OM

=PN（CM+OM）

=PN•OC

=×3（﹣t²﹣+2）

=﹣（t+）²+，

∴当t=﹣时，S_△PCD的最大值为．