Question

如图：四边形ABCD中AB=DC，AD=BC，点E、F在线段BD上，且BE=DF．（1）求证：△ABD≌△CDB； 
（2）指出线段AE与CF的关系，并说明理由．
（3）若将题中的条件“点E、F在线段BD上”改为“点E、F在直线BD上”那么你在（2）中得出的结论还一定能成立吗？若能，直接写出结论；若不能，请画出一个图形作为反例说明．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD中AB=DC，AD=BC，可利用SSS，证得：△ABD≌△CDB；
（2）由△ABD≌△CDB，可得∠ABE=∠CDF，继而利用SAS，证得△ABE≌△CDF，则可证得AE与CF平行且相等；
（3）不一定成立．点E在DB的延长线上，点F在BD上．

解答：（1）证明：在△ABD和△CDB中，

AB=DC AD=BC BD=DB

，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；

（2）解：AE=CF，AE∥CF．
理由：∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，

AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF

，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF；

（3）不一定成立．如图：

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．