Question

平面直角坐标系中，O是坐标原点．直线y=kx+b（k≠0）经过点A（1，2），与x轴交于点M，与y轴交于点N．若OA²=AM•AN，则点M的坐标是________．

Answer 1

（5，0）、（-3，0），（0，0）、（2，0）
分析：把A的坐标代入直线的解析式求出y=（2-b）x+b，求出M、N的坐标，根据已知和勾股定理得到25=[4+]×[1+（b-2）²]，求出方程的解即可
解答：把A（1，2）代入y=kx+b得：2=k+b，
∴k=2-b，
∴y=（2-b）x+b，
当x=0时y=b，
当y=0时，x=，
∴N（0，b），M（，0），
∵OA²=AM•AN，
∴OA⁴=AN²•AM²，
由勾股定理得：OA==，
25=[4+]×[1+（b-2）²]，
25=[4+]×[1+（b-2）²]，
25=4+4（b-2）²++4，
即+4（b-2）²-17=0，
解得：b₁=，b₂=，b₃=4，b₄=0，
∴的值是5或-3或2或0，
∴M的坐标是（5，0），（-3，0），（2，0），（0，0），
故答案为：（5，0），（-3，0），（2，0），（0，0）．
点评：本题主要考查对勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．