Question

如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O(0，0)，与x轴相交于点A(5，0)，过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

(1)已知AC＝3，求点B的坐标；

(2)若AC＝a，D是OB的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为O₁，函数的图象经过点O₁，求k的值(用含a的代数式表示)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 　　在Rt△AOC中，，1分 　　在Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO＝∠OAB 　　∴Rt△AOC∽Rt△ABO　　2分 　　∴，即　　3分 　　∴，∴　　4分 　　解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径，∴∠ACO＝90° 　　在Rt△AOC中，AO＝5，AC＝3，∴OC＝4　　1分 　　过C作CE⊥OA于点E，则：， 　　即：，∴　　2分 　　∴　∴　　3分 　　设经过A、C两点的直线解析式为：． 　　把点A(5，0)、代入上式得： 　　，解得：， 　　∴，∴点　　4分 　　(2)点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下： 　　连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点　∴， 　　∴∠3＝∠4，又∵OP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°， 　　∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等， 　　∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上　　6分 　　由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心， 　　由(1)知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB＝，在Rt△ABO中， 　　，OD＝， 　　∴，点在函数的图象上， 　　∴　∴　　8分