Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M

交OC于D、E，连结AD、BD、BE。

（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。

_____________________,______________________

（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），

若抛物线y=ax²-2ax-3a（a<0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。

①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。

②求抛物线的解析式。

③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，

使得⊿PAN与⊿OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

 

图1                               图2

Answer 1

（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB

（2）①（1，-4a）

②∵△OAD∽△CDB

∴

∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0）

又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,

∴   ∴　　∵　　∴

故抛物线的解析式为：

③存在，

设P（x,-x²+2x+3）

∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形         ∴PN=AN

当x<0（x< -1）时，-x+3=-(-x²+2x+3),x₁=-2,x₂=3(舍去)，∴P（-2，-5）

当x>0（x>3）时，x-3= -(-x²+2x+3), x₁=0,x₂=3(都不合题意舍去)

符合条件的点P为（-2，-5）