Question

如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴,y轴的交点分别为点A,点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;

(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．

Answer 1

解：（1），令得，

∴或∴；

在中，令得即；

由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或

即且易求出顶点坐标为

于是，，顶点坐标为。

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；

（3）设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

∴∴

又点Q到直线PF的距离，∴，

于是△PQF的面积总为90。

（4）由上知，，。构造直角三角形后易得

①     若FP=PQ，即，故，

∵∴∴

②     若QP=QF，即，无的满足条件；

③     若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；

综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。