Question

问题提出：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N。
问题解决：如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小。
解：由图可知：M=a²+b²，N=2ab，
∴M-N=a²+b²-2ab=（a-b）²，
∵a≠b，
∴（a-b）²＞0，
∴M-N＞0，
∴M＞N。

类别应用：
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低。
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M₁、N₁的大小（b＞c）。

联系拓广：小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由。

Answer 1

解：类别应用：（1），
∵a，b是正整数且a≠b，
∴，
∴，
∴小丽购买商品的平均价格比小颖的高；
（2）由图知，M₁=2（a+b+b+c）=2a+4b+2c，
N₁=2（a-c+b+3c）=2a+2b+4c，
M₁-N₁=（2a+4b+2c）-（2a+2b+4c）=2b-2c=2（b-c）
∵b＞c，
∴M₁-N₁=2（b-c）＞0，即M₁＞N₁，
所以第一个矩形的周长大于第二个矩形的周长；
联系拓广：设图5的捆绑绳长为，则=2a×2b+2×2+4c×2=4a+4b+8c
设图6的捆绑绳长为，则=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c
设图7的捆绑绳长为，则=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c
∵-=（4a+4b+8c）-（4a+4b+4c）=4c＞0，
∴＞，
∵-=（6a+4b+6c）-（4a+4b+8c）=2a-2c＞0，
=2（a-c）＞0，（∵已知a＞c）
∴＞，
∴＞＞，
所以第三种捆绑方法用绳最长，第二种最短。