Question

已知：如图，⊙O的半径为R，OP=L，AB=a，CD=b，则a²+b²=________．

Answer 1

8R² -4L²
分析：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OB，OC，根据垂径定理得到BE=EA=a，CF=FD=b，然后在Rt△OBE和Rt△OCF中，利用勾股定理得OE²=OB²-BE²=R²-（b）²=R²-a²；
OF²=OC²-CF²=R²-b²；最后在Rt△OPE中，利用勾股定理即可得到a²+b²=8R²-4L²．
解答：解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OB，OC，如图，
∴BE=EA=a，CF=FD=b，
在Rt△OBE中，OE²=OB²-BE²=R²-（b）²=R²-a²；
在Rt△OCF中，OF²=OC²-CF²=R²-b²；
在Rt△OPE中，OP²=OE²+PE²=2R²-a²-b²=L²，
而OF=OE，
∴OP²=OE²+OF²=2R²-a²-b²=L²，
∴a²+b²=8R²-4L²．
故答案为8R²-4L²．
点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．