题目内容
已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；
步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ______QE（填“＞”、“=”、“＜”号）；
（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT与MN交于点Q1，Q1点的坐标是（______，______）；
②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q2，Q2点的坐标是（______，______）；
③当PA=12厘米时，在图4中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q3的坐标．
【答案】分析：（1）根据折叠的性质可得：PQ=QE．
（2）①②问，分别画出图形，可直观的得出Q1点的坐标、Q2点的坐标；
③连接EP，作EP的中垂线即得MN，过点P作AB的垂线，可得出PT，过点E作EG⊥Q3P，垂足为G，则四边形APGE是矩形，证明△Q3PF∽△PEA，利用对应边成比例可得出Q3P，继而得出Q3的坐标．
解答：解：（1）由折叠的性质可得：PQ=QE；
（2）①当点P在A点时，如图①所示：
故可得：Q1点的坐标是（0，3）；
②如图②所示：
Q2点的坐标是（6，6）；
③如图所示：
设MN与EP交于点F，
在Rt△APE中，∵PE=
=6
，
∴PF=
PE=3
，
∵∠Q3PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q3PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q3FP=90°，
∴△Q3PF∽△PEA，
∴
=
，
∴Q3P=
=15．
∴Q3（12，15）．
点评：本题考查了一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维．而试题的三个探究问题表现出对试题的求解要求层次分明，体现了“让不同的人学不同的数学”这一基本教学理念．
（2）①②问，分别画出图形，可直观的得出Q1点的坐标、Q2点的坐标；
③连接EP，作EP的中垂线即得MN，过点P作AB的垂线，可得出PT，过点E作EG⊥Q3P，垂足为G，则四边形APGE是矩形，证明△Q3PF∽△PEA，利用对应边成比例可得出Q3P，继而得出Q3的坐标．
解答：解：（1）由折叠的性质可得：PQ=QE；
（2）①当点P在A点时，如图①所示：
故可得：Q1点的坐标是（0，3）；
②如图②所示：
Q2点的坐标是（6，6）；
③如图所示：
设MN与EP交于点F，
在Rt△APE中，∵PE=
=6，∴PF=
PE=3，∵∠Q3PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q3PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q3FP=90°，
∴△Q3PF∽△PEA，
∴
=，∴Q3P=
=15．∴Q3（12，15）．
点评：本题考查了一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动手能力，培养探究精神，发展创新思维．而试题的三个探究问题表现出对试题的求解要求层次分明，体现了“让不同的人学不同的数学”这一基本教学理念．
练习册系列答案
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