Question

如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=

90°

，∠FAE=

30°

，∠DAB=

60°

，∠EFA=

120°

．

Answer 1

分析：连接OE，OB，由六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，即可求得圆心角∠EOD=∠AOB=60°，即可判定△OED与△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求得∠DAB与∠EDA的度数，然后根据圆周角定理，求得∠EAD的度数，由三角形的内角和定理，即可求得∠AED的度数，然后根据正六边形的性质，求得∠AFE的度数，由等腰三角形的性质，求得∠FAE的度数．

解答：解：连接OE，OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠EOD=∠AOB=

1

6

×360°=60°，
∵OE=OD，OA=OB，
∴△OED与△OAB是等边三角形，
∴∠ADE=∠DAB=60°；
∴∠EAD=

1

2

∠EOD=

1

2

×60°=30°，
∴∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=90°；
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EFA=

180°×(6-2)

6

=120°，
∵AF=EF，
∴∠FAE=

180°-120°

2

=30°．
∴∠AED=90°，∠FAE=30°，∠DAB=60°，∠EFA=120°．
故答案为：90°，30°，60°，120°．

点评：此题考查了圆的内接多边形、正六边形的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．