Question

（2013•洛阳二模）如图，在平面直角坐标系中，已知OB=2，点A和点B关于N（0，-2）成中心对称，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、O、B三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是x轴上的一动点，从点O出发沿射线OB方向运动，圆P半径为

3 2

4

，速度为每秒1个单位，试求几秒后圆P与直线AB相切；
（3）在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点A的坐标为（x，y），先根据中点坐标公式求出x与y的值，得到点A的坐标，再将A、O、B三点的坐标代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的函数表达式；
（2）设x秒后圆P与直线AB相切．分两种情况：①点P在点B左边时，先由两角对应相等的两三角形相似证明出△BMP∽△BON，再根据相似三角形对应边成比例得到

MP

ON

=

BP

BN

，据此列出关于x的方程，解方程即可；②点P在点B右边时，设圆P与直线AB切于点Q，同①证明△BQP∽△BON，列出比例式求解即可；
（3）点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形时，分三种情况进行讨论：①当P₁与A点关于抛物线对称轴对称时，OB∥AP₁，AP₁BO为梯形，根据轴对称的性质易求P₁点的坐标；
②设存在点P₂，使OP₂∥AB，先运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x-2，再根据OP₂∥AB，且经过原点O得到OP₂的解析式为y=x，然后解方程组

y=x y=- 1 2 x2+x

，求出P₂（0，0），由于与原点O重合，舍去；③设存在点P₃，使BP₃∥OA，同②可求出P₃（-4，-12），进而得出存在点P（4，-4）或（-4，-12），使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．

解答：解：（1）设点A的坐标为（x，y）．
∵点A和点B（2，0）关于N（0，-2）成中心对称，
∴N为线段AB的中点，
∴

x+2

2

=0，

y+0

2

=-2，
解得x=-2，y=-4，
∴点A的坐标为（-2，-4）．
∵抛物线y=ax²+bx+c经过A、O、B三点，
∴

4a-2b+c=-4 c=0 4a+2b+c=0

，解得

a=- 1 2 b=1 c=0

，
∴抛物线的函数表达式为y=-

1

2

x²+x；

（2）如图，设x秒后圆P与直线AB相切，则OP=x．分两种情况：
①点P在点B左边时，设圆P与直线AB切于点M，则∠BMP=90°，PM=

3 2

4

．
在△BMP与△BON中，

∠MBP=∠OBN ∠BMP=∠BON=90°

，
∴△BMP∽△BON，
∴

MP

ON

=

BP

BN

，即

3 2 4

2

=

2-x

2 2

，
解得x=

1

2

，
即

1

2

秒后圆P与直线AB相切；
②点P在点B右边时，设圆P与直线AB切于点Q，则∠BQP=90°，PQ=

3 2

4

．
在△BQP与△BON中，

∠PBQ=∠NBO ∠BQP=∠BON=90°

，
∴△BQP∽△BON，
∴

PQ

ON

=

BP

BN

，即

3 2 4

2

=

x-2

2 2

，
解得x=

7

2

，
即

7

2

秒后圆P与直线AB相切；
综上所述，

1

2

秒或

7

2

秒后圆P与直线AB相切；

（3）点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形时，分三种情况：
①当P₁与A点关于抛物线对称轴对称时，OB∥AP₁，AP₁BO为梯形，此时P₁（4，-4）；
②设存在点P₂，使OP₂∥AB．
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∵A（-2，-4），B（2，0），
∴

-2k+b=-4 2k+b=0

，解得

k=1 b=-2

，
∴直线AB的解析式为y=x-2，
∴OP₂的解析式为y=x．
由

y=x y=- 1 2 x2+x

，解得

x=0 y=0

，
∴P₂（0，0），与原点O重合，不合题意，舍去；
③设存在点P₃，使BP₃∥OA．
设直线OA的解析式为y=nx，
∵A（-2，-4），
∴-2n=-4，解得n=2，
∴直线OA的解析式为y=2x，
∴BP₃的解析式为y=2x-4．
由

y=2x-4 y=- 1 2 x2+x

，解得

x=-4 y=-12

，
∴P₃（-4，-12），
综上所述，存在点P（4，-4）或（-4，-12），使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，中点坐标公式，直线与圆相切，相似三角形的判定与性质，梯形的判定等知识点，综合性强，有一定难度．运用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．