Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）如果AB⊥AC，AB=6，cos∠B=

3

5

，求EC的长．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，又由AB=AE，易证得∠B=∠EAD，则可根据SAS证得△ABC≌△EAD；
（2）由AB⊥AC与cos∠B=

3

5

，在直角三角形△ABC中，根据cos∠B=

AB

BC

，即可求得BC的长，然后过点A作AH⊥BC，H为垂足，在直角三角形△ABH中，根据cos∠B=

BH

AB

，求得BH的长，又由AB=AE，即可求得EC的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，（1分）
∴∠AEB=∠EAD，（1分）
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B，（1分）
∴∠B=∠EAD，（1分）
∴△ABC≌△EAD；（1分）

（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴在直角三角形△ABC中，cos∠B=

AB

BC

，（1分）
∵cos∠B=

3

5

，AB=6，
∴BC=10，（1分）
过点A作AH⊥BC，H为垂足，
∴在Rt△ABH中，cos∠B=

BH

AB

，（1分）
∴

3

5

=

BH

6

，
∴BH=

18

5

，（2分）
∵AB=AE，
∴BH=HE，（1分）
∴BE=

36

5

，
∴EC=

14

5

．（1分）

点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质，以及三角函数的性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．