Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒8个单位长度的速度运动，在BC上以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）

（2）当点P在AB边上运动时，求PQ与△ABC的一边垂直时t的值；

（3）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）4﹣t；（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或；（3）S与t的函数关系式为：S=；（4）t的值为或．

【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AC的长，然后由AQ=AC-CQ求解即可；

（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直，有三种情况：当Q在C处，P在A处时，PQ⊥BC；当PQ⊥AB时；当PQ⊥AC时；分别求解即可；

（3）当P在AB边上时，即0≤t≤1，作PG⊥AC于G，或当P在边BC上时，即1＜t≤3，分别根据三角形的面积求函数的解析式即可；

（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，作PG⊥AC于G，则AG=GQ，列方程求解；②当P在边AC上时， AQ=PQ，根据勾股定理求解.

详解：（1）如图1，

Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8，

∴BC=AB=4，

∴AC=，

由题意得：CQ=t，

∴AQ=4﹣t；

（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直，有三种情况：

①当Q在C处，P在A处时，PQ⊥BC，此时t=0；

②当PQ⊥AB时，如图2，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°=，

∴，

t=；

③当PQ⊥AC时，如图3，

∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，

∴cos30°=，

∴

t=；

综上所述，当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或；

（3）分两种情况：

①当P在AB边上时，即0≤t≤1，如图4，作PG⊥AC于G，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴S△APQ=AQPG=（4﹣t）4t=﹣2t2+8t；

②当P在边BC上时，即1＜t≤3，如图5，

由题意得：PB=2（t﹣1），

∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，

∴S△APQ=AQPC=（4﹣t）（﹣2t+6）=t2；

综上所述，S与t的函数关系式为：S=；

（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：

①当P在边AB上时，如图6，

AP=PQ，作PG⊥AC于G，则AG=GQ，

∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，

∴PG=4t，

∴AG=4t，

由AQ=2AG得：4﹣t=8t，t=，

②当P在边AC上时，如图7，AQ=PQ，

Rt△PCQ中，由勾股定理得：CQ2+CP2=PQ2，

∴，

t=或﹣（舍），

综上所述，t的值为或．