Question

（2012•泉港区质检）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的一动点，DF⊥AE于F，连接DE．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）如果AE=BC=10，AB=6，试求出tan∠EDF的值．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性质和垂直的定义以及相似三角形的判定方法即可证明：△ABE∽△DFA；
（2）根据相似三角形的对应边比值相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长，运用三角函数定义求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE于F，
∴∠DFA=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵△ABE∽△DFA；
∴

AD

AE

=

AF

BE

，
∵AE=BC=10，AB=6，
∴在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=8，
∴

10

10

=

AF

8

，
∴AF=8，
∴DF=6，
∴EF=AE-AF=2，
∴tan∠EDF=

EF

DF

=

2

6

=

1

3

．

点评：本题综合考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义．熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明相似三角形的有关条件；运用相似三角形的性质求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解是解题的关键．