Question

【题目】如图，点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝3，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

（1）请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

（2）当∠ABC＝30°时，求线段BE长；

（3）直接写出线段BE长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）BE＝CD，理由见解析；（2）5；（3）7

【解析】

（1）BE＝CD，根据等边三角形的性质证明△ABE≌△ADC，可以得出；

（2）如图1，利用勾股定理求出DC＝5，再利用（1）中CD＝BE，得出结论；

（3）线段BE长的最大值就是线段CD的最大值，当D、B、C在同一直线上时，DC最大为7，由此得出结论：BE的最大值为也是7．

解：（1）BE＝CD，理由是：

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，

∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，

∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE，

∴△ABE≌△ADC（SAS），

∴CD＝BE；

（2）如图1，

∵∠ABC＝30°，∠ABD＝60°，

∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝60°+30°＝90°，

∵△ABD是等边三角形，

∴BD＝AB＝3，

在Rt△DBC中，∵BC＝4，

∴DC＝＝＝5，

∴BE＝DC＝5；

（3）在△BDC中，DC＜BC+BD，

∴DC＜3+4＝7，

∴当D、B、C在同一直线上时，DC最大为7，

∵BE＝DC，

∴BE的最大值为也是7．