Question

【题目】（本题满分12分）如图，Rt△中， ， ，点为斜边的中点，点为边上的一个动点．连结，过点作的垂线与边交于点，以为邻边作矩形．

（1）如图1，当，点在边上时，求DE和EF的长；

（2）如图2，若，设，矩形的面积为，求y关于的函数表达式；

（3）若，且点恰好落在Rt△的边上，求的长．

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）；（3）9或12.

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质求出DE和BG，求出EF；

（2）作DH⊥AC于H，根据相似三角形的性质得到y关于x的函数解析式；

（3）根据点G在边BC上和点G在边AB上两种情况，根据相似三角形的性质解答．

解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，

∴AB= =10，

∵D为斜边AB的中点，

∴AD=BD=5，

∵DEFG为矩形，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD:AC=DE:BC，即5:8=DE:6，

解得，DE=，

∵△ADE∽△FGB，

∴AD:GF=DE:BG，

则BG=，

∴EF=DG=AB-AD-BG=；

（2）过点作于点， 从而．

易得△∽△，

由， 可得， ．

所以．

∴．

（3）由题意，点可以在边或者上．

①若点在边上，

由，可知，于是；

②若点在边上．

记，矩形边长，

由△∽△， 可得， 即，

化简可得， 因式分解后有: ， 即．

而由△∽△， 所以， 从而．

综上知，AC的值为9或12.