Question

如下图，△ABC中，∠B、∠C的平分线BM、CN相交于点P．求证：AP平分∠BAC．

当我们把问题解决之后会发现：一个三角形的三个角的平分线都相交于一点，并且这个点到三角形的三条边的距离相等．

由此我们就可以得出三角形的另一个面积公式．

Answer 1

答案：
解析：

探索：由例题可以得到：△ABC的三条角平分线必交于点P．过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D、E、F． 　　由图可以知道：S△APB＝AB·PD，S△PBC＝BC·PE，S△APC＝AC·PF，所以S△ABC＝S△APB＋S△PBC＋S△APC＝AB·PD＋BC·PE＋AC·PF．因为PD＝PE＝PF，所以可以设PD＝PE＝PF＝r，△ABC的周长为l．所以S△ABC＝(AB＋BC＋AC)·r＝lr． 　　这样我们就可以得到三角形的另一个面积公式：S△ABC＝lr．即三角形的面积等于三角形周长的一半乘以三角形角平分线的交点到边的距离． 　　当我们探索了三角形的这个面积公式后，对于有关三角形的面积问题就有了两种计算方法，解题时要结合具体的情况选择合适的公式进行计算．