Question

如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：

2

=1.4，

3

=1.7，

6

=2.4）．

Answer 1

分析：本题可通过作辅助线构造直角三角形来解决问题，
（1）如果延长BA交EF于点G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC的度数以及确定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度数已知，那么∠EAG的度数就能求出来了，∠CAE便可求出．
（2）求树折断前的高度，就是求AC和CD的长，如果过点A作AH⊥CD，垂足为H．有∠CDA=60°，通过构筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．

解答：解：（1）延长BA交EF于点G．
在Rt△AGE中，∠E=23°，
∴∠GAE=67°．
又∵∠BAC=38°，
∴∠CAE=180°-67°-38°=75°．

（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=

DH

AD

，∴DH=2．
sin∠ADC=

AH

AD

，∴AH=2

3

．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°-75°-60°=45°，CH=AH=2

3

，
∴AC=2

6

，CH=AH=2

3

．
∴AB=AC+CD=2

6

+2

3

+2≈10（米）．
答：这棵大树折断前高约10米．

点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．