Question

已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DB，连接AE、CD．

(1)求证：△AGE≌△DAC；

(2)过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵EG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°．∴△ADG是等边三角形．∴AD＝DG＝AG．∵DE＝DB，∴EG＝AB．∴GE＝AC．∴在Rt△AGE和△DAC中，∵EG＝AB＝GA．∠AGE＝∠DAC＝60°，AG＝DA，∴△AGE≌△DAC．(2)如图，连接AF，则△AEF是等边三角形．∵EG∥BC，EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形．∴EF＝DC，∠DEF＝∠DCF．∵△AGE≌△DAC，∴AE＝CD，∠AED＝∠ACD．∵EF＝CD＝AE，∠AED＋∠DEF＝∠ACD＋∠DCB＝60°，∴△AEF是等边三角形．