题目内容

已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设
AC
AO
=a，
BD
DO
=b，
CP
PB
=k．
（1）如图1，当a=
1
2
，b=1时，请求出k的值；
（2）当a=
1
3
，b=1时（如图2），请求出k的值；当a=
3
2
，b=
1
5
时，k=
15
2
15
2
；
（3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=
a
b
a
b
；②若点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），直线AD为：y=-
1
2
x+4，则k=
5
2
5
2
．
分析：（1）当a=
1
2
，b=1时，由条件可以得知设
AC
AO
=
1
2
，
BD
DO
=1，可以得出D、C是OB、OA的中点，作DE∥OA交BC于点E，根据三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理可以得出结论．
（2）如图2，作DF∥OA交BC于点F，根据三角形相似的性质和平行线分线段成比例定理可以同（1）一样的方法得出结论，如图3，作GB∥OC交PA于点G，可以得出△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．由相似三角形的性质及在a=
3
2
，b=
1
5
的情况下就可以得出结论．
（3）①通过（1）、（2）的计算就可以得出：a=
1
2
，b=1时，k=
a
b
=
1
2
1
=
1
2
，a=
1
3
，b=1时，k=
a
b
=
1
3
1
=
1
3
，当a=
3
2
，b=
1
5
时，k=
a
b
=
3
2
1
5
=
15
2
，从而可以得出结论：k=
a
b
；
②根据直线AD的解析式y=-
1
2
x+4可以求出D点的坐标，从而求出OD的值，再由点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0）就可以求出AO，CO，AC的值，从而可以求出a、b的值，直接运用k=
a
b
就可以求出结论．
解答：解：（1）如图1，作DE∥OA交BC于点E，
∵
AC
AO
=a，
BD
DO
=b，且a=
1
2
，b=1，
∴
AC
AO
=
1
2
，
BD
DO
=1，
∴AO=2AC，BD=DO，
∴D、C是OB、OA的中点．
∴OC=AC．
∵DE∥OA，
∴BE=CE，
∴DE=
1
2
OC，
∴DE=
1
2
AC．
∵DE∥OA，
∴△DEP∽△ACP，
∴
DE
AC
=
EP
PC
，
∴
EP
PC
=
1
2
，
∴PC=2PE，
∴EC=3PE，
∴BE=3PE，
∴BP=4PE．
∴
CP
PB
=
2PE
4PE
=
1
2
，
∵
CP
PB
=k，
∴k=
1
2
；
（2）如图2，作DF∥OA交BC于点F，
∵
AC
AO
=a，
BD
DO
=b，且a=
1
3
，b=1，
∴
AC
AO
=
1
3
，
BD
DO
=1
∴AO=3AC，BD=DO，
∴OC=2AC．
∵DF∥OA，
∴BF=CF，DF=
1
2
OC，
∴DF=AC．
∵DF∥OA，
∴△DFP∽△ACP，
∴
DF
AC
=
PF
PC
=1，
∴PF=PC，
∴CF=2PC，
∴BP=3PC，
∴
CP
PB
=
CP
3CP
=
1
3
，
∵
CP
PB
=k，
∴
CP
PB
=
1
3
，
∴k=
1
3
；
如图3，作GB∥OC交PA于点G，
∴△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．
∴
GB
OA
=
DB
DO
，
CP
PB
=
AC
GB
．
∵
AC
AO
=a，
BD
DO
=b，
a=
3
2
，b=
1
5
时，
∴
AC
AO
=
3
2
，
BD
DO
=
1
5

∴2AC=3AO，
GB
OA
=
1
5
，
∴AC=
3
2
AO，AO=5GB，
∴AC=
15
2
GB，
∴
CP
PB
=
25
2
GB
GB
=
15
2
．
∵
CP
PB
=k，
∴k=
15
2
；
（3）①通过（1）、（2）的计算就可以得出：
a=
1
2
，b=1时，k=
a
b
=
1
2
1
=
1
2
，
a=
1
3
，b=1时，k=
a
b
=
1
3
1
=
1
3
，
a=
3
2
，b=
1
5
时，k=
a
b
=
3
2
1
5
=
15
2
，
从而可以得出结论：k=
a
b
；
②如图4，∵AD的解析式y=-
1
2
x+4，
∴当x=0时，y=4，
∴D（0，4），
∴OD=4，
∵点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），
∴OA=8，OB=6，OC=2，
∴AC=10，BD=2.2
∵
AC
AO
=a，
BD
DO
=b，
∴a=
10
8
=
5
4
，b=
2
4
=
1
2
，
∴k=
a
b
=
5
4
1
2
=
5
2

故答案为：
15
2
，
a
b
，
5
2
．
点评：本题是一道相似形综合试题，考查了作平行线在相似形中的运用，相似三角形的判定及性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，解答是寻找k与a、b之间的关系式是关键．
练习册系列答案
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如图，已知：点B、C分别在∠MAN的两边上，BD⊥AN，CE⊥AM，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，且BF＝CF．

求证：点F在∠MAN的平分线上．

已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设=a， =b，=k。
（1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；
（2）当a=，b=1时(如图2)，请求出k的值；当a=，b=时，k=▲；
（3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=▲；② 若点A(8,0)，点B（0，6），C（－2，0），直线AD为：y=－x+4，则k=▲。
已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设=a，=b，=k．
（1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；
（2）当a=，b=1时（如图2），请求出k的值；当a=，b=时，k=______；
（3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=______；②若点A（8，0），点B（0，6），C（-2，0），直线AD为：y=-x+4，则k=______．

已知：点A、B分别在直角坐标系的x、y轴的正半轴上，O是坐标原点，点C在射线AO上，点D在线段OB上，直线AD与线段BC相交于点P，设=a， =b，=k。

（1）如图1，当a=，b=1时，请求出k的值；

（2）当a=，b=1时(如图2)，请求出k的值；当a=，b=时，k= ▲；

（3）根据以上探索研究，请你解决以下问题：①请直接写出用含a，b代数式表示k=▲；② 若点A(8,0)，点B（0，6），C（－2，0），直线AD为：y=－x+4，则k=▲。

 

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