Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移．已知点A（1，0），点A经过n次斜平移得到点B，点M是线段AB的中点．

（1）当n=3时，点B的坐标是 ，点M的坐标是 ；

（2）如图1，当点M落在的图像上，求n的值；

（3）如图2，当点M落在直线上，点C是点B关于直线的对称点，BC与直线相交于点N．

①求证：△ABC是直角三角形

②当点C的坐标为（5，3）时，求MN的长．

Answer 1

【答案】（1），；（2）2；（3）①详见解析；②

【解析】

（1）由题中斜平移及中点公式即可求得；

（2）根据定义，表达出点M的坐标，再代入反比例函数中计算即可；

（3）①根据中心对称及轴对称得到，再由等腰三角形的性质进行角度运算得出即可证明；

②由平行得出△BMN∽△BAC，再根据比例关系得出MN的长度即可．

解：（1）当n=3时，点A(1，0)向右平移3个单位，向上平移6个单位得到点B，

∴点B，

由中点公式可得，，

∴点M，

故答案为：，

（2）由定义可知B(n+1，2n)，

∴点M，

∴当点M在上时，

有，

解得，

∵n>0，

∴

（3）①连接，如图：

由中心对称可知，

由轴对称可知，

∴

∴，

，

是直角三角形；

②过点作于点，如图：

∵，，，，

在直角三角形中，

∴△BMN∽△BAC