Question

如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，BA、ED的延长线交于点H，a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两个根．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）若25asin∠BAC=9c，求四边形CEDF的面积．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得到a+b=c+4，ab=4c+8，把第一等式两边平方后把第二个等式代入得到a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）由25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=

9c

25a

，再根据三角函数定义得sin∠BAC=

a

c

，则3c=5a，设c=5x，则a=3x，b=4x，代入a+b=c+4求出x=2，则得到a=6，b=8，c=10；
根据切线的性质得到DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，得到四边形DECF为正方形，设DE=DF=DG=R，利用S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，得到关于R的方程，解方程求出R，即可得到四边形CEDF的面积．

解答：（1）证明：∵a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两个根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8，
∴（a+b）²=（c+4）²，即a²+2ab+b²=c²+8c+16，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：连DB，如图
∵25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=

9c

25a

，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=

a

c

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴25a²=9c²，
∴3c=5a，
设c=5x，则a=3x，b=4x，
∴5x+4x=3x+4x+4，解得x=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵⊙D与BC、AC、AB都相切，切点分别是E、F、G，
∴DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，
∴四边形DECF为正方形，
设DE=DF=DG=R，
∵S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，
∴

1

2

×6×8+

1

2

×（R+8）×R=

1

2

×（6+R）×R+

1

2

×10×R，解得R=6，
∴四边形CEDF的面积=R²=36．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理的逆定理、三角函数的定义以及一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判别式与根与系数的关系：如果方程的两个实数根x₁、x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．