Question

如图，将边长为6的正方形ABCO放置在直角坐标系中，使点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．
（1）当t=2时，tan∠NAO=______；
（2）在直角坐标系中，取定点P（3，8），则在点M运动过程中，当以M、N、C、P为顶点的四边形是梯形时，点M的坐标为______．

Answer 1

解：（1）∵AN⊥CM，
∴∠CMO+∠NAO=90°，
∵∠NAO+∠ANO=90°，
∴∠ANO=∠CMO，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA=OC，
在△AON和△COM中，
∵，
∴△AON≌△COM（AAS），
∴ON=OM=2，
∴tan∠NAO===；

（2）①如图①，当CN∥PM时，
∵P（3，8），
∴M₁（3，0）；
②如图②，
当PN∥CM时，
则∠PNH=∠MCO，
过点P作PH⊥ON于H，
则∠PHN=∠MOC=90°，
则△PHN∽△MOC，
故，
设点M（a，0），则N（0，a）（a＞0），
则NH=a-8，PH=3，OC=6，OM=a，
故，
解得：a=4+；
故M₂（4+，0）；
如图③，当CM∥PN时，
则∠PNH=∠CMO，
过点P作PH⊥ON于H，
则∠PHN=∠COM=90°，
则△PHN∽△COM，
故，
设点M（-b，0），则N（0，-b）（b＞0），
则NH=3，PH=8+b，OC=6，OM=b，
则，
解得：b=-4；
故M₂（4-，0）．
故点M的坐标为（3，0）或（4+，0）或（4-，0）．
故答案为：（1）；（2）（3，0）或（4+，0）或（4-，0）．
分析：（1）首先根据题意易证得△AON≌△COM，即可得ON=OM，然后在Rt△AON中，求得tan∠NAO的值；
（2）分别从CN∥PM与PN∥CM（当M在x轴正半轴与负半轴）时，去分析求解，注意利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
点评：此题考查了正方形的性质、梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．