Question

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，点D在BC上，过点D作DE⊥AD，过点B作BE⊥AB交DE于点E，DE交AB于F．
（1）求证：AD=DE；
（2）若BD=2CD，求证：AF=5BF．

Answer 1

分析：（1）过D作DN∥AB交AC于N点，根据∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，求证△AND≌△DBE即可；
（2）过E作EM∥BC交AB于M点，求证△BME为等腰Rt△，然后设CD=a，求证△MEF≌△BDF即可．

解答：证明：（1）过D作DN∥AB交AC于N点，
∵∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠EDB，又∠AND=∠DBE=135°，AN=BD，
∴△AND≌△DBE，
∴DA=DE；

（2）过E作EM∥BC交AB于M点，则∠BME=∠MBD=45°，
∴△BME为等腰Rt△，设CD=a，则AC=BC=3a，AB=3

2

a，BE=

2

a，ME=2a，
∴△MEF≌△BDF，
∴MF=BF=

2 a

2

，AF=

5 2 a

2

，AF=5BF．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质的理解和掌握，此题综合性较强，有一定的拔高难度，属于中档题．