题目内容

方程x²+（ $数学公式$ ）²=45的四个实数根中，最小的一个是________．

-6
分析：先求出原方程的四个实数根，再取其最小的一个值即可．由于方程的左边是平方和的形式，可以添项后配成完全平方式，再将 $\text{[math]}$ 看作一个整体，运用十字相乘法求出它的值，进而得出未知数x的值．注意解此方程需要检验．
解答：添项，得x²-2•x• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2•x• $\text{[math]}$ =45，
（x- $\text{[math]}$ ）²+4• $\text{[math]}$ =45，
所以（ $\text{[math]}$ ）²+4• $\text{[math]}$ -45=0，
（ $\text{[math]}$ +9）（ $\text{[math]}$ -5）=0，
$\text{[math]}$ +9=0或 $\text{[math]}$ -5=0．
当 $\text{[math]}$ +9=0时，得x²+9x+18=0，所以x₁=-3，x₂=-6；
$\text{[math]}$ -5=0时，得x²-5x-10=0，所以x₃= $\text{[math]}$ ，x₄= $\text{[math]}$ ．
经检验，x₁=-3，x₂=-6，x₃= $\text{[math]}$ ，x₄= $\text{[math]}$ 都是原方程的根．
∵-6＜-3＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴四个实数根中，最小的一个是-6．
故答案为-6．
点评：本题主要考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．本题的实质是利用换元法解方程，能够通过观察添项，将原方程变形为（ $\text{[math]}$ ）²+4• $\text{[math]}$ -45=0，是解题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．