Question

如图，在直角坐标系xoy中，点A（2，0），点B在第一象限且△OAB为等边三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
（1）判断点C是否为弧OB的中点？并说明理由；
（2）求B、C两点的坐标；
（3）求直线CD的函数解析式；
（4）点P在线段OB上，且满足四边形OPCD是等腰梯形，求点P坐标．

Answer 1

分析：（1）利用90°的圆周角所对的弦是直径得AC是直径，求的角ABC=90°，再利用等边三角形的性质可求出∠CBO和∠COB，由此得到C为弧OB的中点的结论．
（2）要求点的坐标就要知道它到两坐标轴的距离．因此要过B点作x轴的垂线，再利用特殊角求出有关线段，确定B，C两点坐标．
（3）先通过特殊角计算来得到D点坐标，再用待定系数法求直线CD的函数解析式．
（4）利用等腰梯形的性质和特殊角推出PC=PO，再利用特殊角度求P点坐标．

解答：解：（1）C为弧OB的中点．理由如下：
连接AC；∵OC⊥OA，
∴AC为圆的直径，（1分）
∴∠ABC=90°；
∵△OAB为等边三角形，
∴∠ABO=∠AOB=∠BAO=60°，
∵∠ACB=∠AOB=60°，
∴∠COB=∠OBC=30°，
∴弧OC=弧BC；（2分）
即C为弧OB的中点．

（2）过点B作BE⊥OA于E；
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴OE=1，BE=

3

，
∴点B的坐标是（1，

3

）；（3分）
∵C为弧OB的中点，CD是圆的切线，AC为圆的直径，
∴AC⊥CD，AC⊥OB，
∴∠CAO=∠OCD=30°，
∴OC=

2

3

3

，
∴C（0，

2

3

3

）；（4分）

（3）在△COD中，∠COD=90°，OC=

2

3

3

，
∵∠OCD=∠CAO=

1

2

∠COD=30°，
∴DC=2DO，
∵CD²=DO²+CO²，
∴（2OD）²=DO²+CO²，
∴OD=

2

3

，
则有D（-

2

3

，0）；（5分）
∴直线CD的解析式为：y=

3

x+

2

3

3

（6分）

（4）∵四边形OPCD是等腰梯形，
∴∠CDO=∠DCP=60°，（7分）
∴∠OCP=∠COB=30°，
∴PC=PO（8分）；
过点P作PF⊥OC于F，则OF=

1

2

OC=

1

3

3

，
∴PF=

1

3

，
∴点P的坐标为：（

1

3

，

1

3

3

）．（9分）

点评：掌握求点的坐标的方法．掌握圆周角定理及其推论．熟练用待定系数法求直线的解析式．对等边三角形和等腰梯形的性质要熟练．记住含30度的直角三角形三边的比（1：

3

：2）．