Question

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF=∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．

（1）求证：BD=EF；

（2）当线段FG、GH和GB满足怎样的数量关系时，四边形ABCD是菱形，并加以证明．

 

Answer 1

（1）证明：∵ ∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF+∠FAD=∠DAE +∠FAD，即∠BAD=∠FAE．

在△BAD和△FAE中

∵ AB=AF，∠BAD=∠FAE，AD=AE，∴△BAD ≌ △FAE（SAS）．

  ∴ BD = EF．

（2）当线段满足时，四边形ABCD是菱形．

证明：∵，∴． 又∵∠BGF=∠FGB，

∴△GHF ∽ △GFB．∴ ∠EFA=∠FBD．

∵△BAD ≌ △FAE， ∴ ∠EFA=∠ABD．

∴ ∠FBD =∠ABD．∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD // BC．∴ ∠ADB=∠FBD．

∴ ∠ADB=∠ABD．

∴ AB=AD．

又∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ 四边形ABCD是菱形．