题目内容

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，AH=5，CD= $数学公式$ ，点E在⊙O上，射线AE与射线CD相交于点F，设AE=x，DF=y．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图，当点E在弧AD上时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果EF= $数学公式$ ，求DF的长．

解：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DH= $\text{[math]}$ DC= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△OHD中，∵OD²-OH²=DH²，OH²=（AH-OA）²=（5-r）²，
∴r²-（5-r）²=（2 $\text{[math]}$ ）²，解得r= $\text{[math]}$ ，
∴⊙O的半径为 $\text{[math]}$ ；

（2）作OG⊥AE，垂足为G，如图，
∴AG= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ x，

∴△AOG∽△AFH，
∴AG：AH=AO：AF，即 $\text{[math]}$ x：5= $\text{[math]}$ ：AF，解得AF= $\text{[math]}$ ，
∴FH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵DF=FH-DH，
∴y关于x的函数解析式为y= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ，
定义域为0＜x≤3 $\text{[math]}$ ；

（3）当点E在弧AD上时，如图，∵AF-AE=EF，即 $\text{[math]}$ -x= $\text{[math]}$ ，

化为整式方程得2x²+3x-90=0，解得x₁=- $\text{[math]}$ （舍去），x₂=6，
∴DF=y= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当点E在弧DB上时，如图，∵AE-AF=EF，即x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
化为整式方程得2x²-3x-90=0，解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=-6（舍去），
∵AB为直径，
∴∠E=90°，
∴△AHF∽△AEB，BE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴FH：BE=AH：AE，即FH： $\text{[math]}$ =5： $\text{[math]}$ ，解得FH= $\text{[math]}$
∴DF=DH-FH=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
当点E在BC弧上时，同上得FH= $\text{[math]}$ ，
∴DF=DH+FH=2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
综上，DF的长为 $\text{[math]}$ 或2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ 或2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
分析：（1）连接OD，设⊙O的半径OA=OD=r，根据垂径定理得DH= $\text{[math]}$ DC=2 $\text{[math]}$ ，在Rt△OHD中利用勾股定理得到r²-（5-r）²=（2 $\text{[math]}$ ）²，然后解方程即可得到圆的半径；
（2）作OG⊥AE，垂足为G，根据垂径定理得AG= $\text{[math]}$ AE= $\text{[math]}$ x且易得△AOG∽△AFH，则AG：AH=AO：AF，可解得AF= $\text{[math]}$ ，再在Rt△AHF中利用勾股定理得到FH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，然后利用DF=FH-DH即可得到y与x的关系式，当E与D重合时，x最大，则有0＜x≤3 $\text{[math]}$ ；
（3）分类讨论：当点E在弧AD上时，由AF-AE=EF可解出x=6，再代入y与x的关系式中得到DF= $\text{[math]}$ ；当点E在弧DB上时，由AE-AF=EF，可求得x= $\text{[math]}$ ，然后根据勾股定理计算出BE= $\text{[math]}$ ，再利用△AHF∽△AEB得到FH：BE=AH：AE，解得FH= $\text{[math]}$ ，所以DF=DH-FH=2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ；当点E在BC弧上时，同上得FH= $\text{[math]}$ ，然后利用DF=DH+FH计算即可．
点评：本题考查了圆的综合题：垂径定理和圆周角定理在有关圆的几何证明或几何计算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理进行计算几何是常用的方法．