题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，正方形EFGH四个顶点分别在三边上，连CH，CG交EF于M、N，求证：EM•FN=MN2．分析：由四边形EFGH是正方形，可证得△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，然后由相似三角形的对应边成比例，易得（
）2=
×
=
，易证得△AEH∽△EBG，则可得HG2=BG•AH，继而证得EM•FN=MN2．
| MN |
| HG |
| EM |
| AH |
| FN |
| BG |
| EM•FN |
| AH•BG |
解答：证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥AB，
∴△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，
∴
=
，
=
，
=
=
，
∴（
）2=
×
=
，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHE=∠FGB=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG，
∴△AEH∽△EBG，
∴EH：BG=AH：FG，
∴EH•FG=BG•AH，
∵EH=HG=FG，
∴HG2=BG•AH，
∴EM•FN=MN2．
∴EF∥AB，
∴△CEM∽△CAH，△CFN∽△CBG，△CMN∽△CHG，
∴
| EM |
| AH |
| CM |
| CH |
| FN |
| BG |
| CN |
| CG |
| MN |
| HG |
| CM |
| CH |
| CN |
| CG |
∴（
| MN |
| HG |
| EM |
| AH |
| FN |
| BG |
| EM•FN |
| AH•BG |
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90゜，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AHE=∠FGB=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴∠A=∠BFG，
∴△AEH∽△EBG，
∴EH：BG=AH：FG，
∴EH•FG=BG•AH，
∵EH=HG=FG，
∴HG2=BG•AH，
∴EM•FN=MN2．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
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