Question

【题目】如图（1），二次函数的图象与轴、直线的交点分别为点、．

图（1） 图（2） （备用图）

（1）_________，_________，=_________；

（2）连接AB，点是抛物线上一点（异于点A），且，求点的坐标；

（3）如图（2），点、是线段上的动点，且．设点的横坐标为．

①过点、分别作轴的垂线，与抛物线相交于点、，连接．当取得最大值时，求的值并判断四边形的形状；

②连接、，求为何值时，取得最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）①时，取得最大值；四边形是平行四边形；②当时，最小，这个最小值为．

【解析】

（1）利用坐标点过二次函数图像，待定系数法即可得.

直线OB是正比例函数， ，可得出直线与x轴的夹角.

（2）通过找的对称点 作辅助线,通过图像的几何特征联立方程求出直线解析式，直线一次函数与二次函数的交点即为所求的坐标点.

（3）①找出线段关系式，即线段和以m的关系式，问题变成以m为变量的函数极值问题，通过配方法解得.

②动点线段和的极值问题，关键是找对称点，通过“两点间，线段最短”的思路添加辅助线求得.

（1）

因为二次函数图像经过、

∴解得 ，，

又∵正比例函数， ，可得出直线与x轴的夹角；

（2）

作点关于直线的对称点，直线

∵，，

∴ ∴

又∵，设的解析式为

则有

∴求出直线的解析式为，

解方程组，得

（3）①

∵点的横坐标为，且轴，

∴，，

又∵，且是线段上的一动线段，

span>∴，，

∴，

，

∴

∴当时，取得最大值；

此时，，

∴

∴四边形是平行四边形．

②

如图所示，过点作的平行线，过点作的平行线，交于点，则四边形是平行四边形，

∴

∵点与点关于直线对称，连接，，则．

∴

∴当，，三点共线时，最短，此时最短，

∵，，

∴，，

得出直线的解析式为，

解方程组，可得，

∴，而

∴，，

，

故当时，最小，这个最小值为．