Question

如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，进而得到AB∥CD；
（2）过E作EF∥AB，证明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，进而得到∠BAE+

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∠MCD=90°；
（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系．

解答：证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠ACD=180，
∴AB∥CD；

（2）∠BAE+

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∠MCD=90°；
过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥∥AB∥CD，
∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，
∵∠E=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠MCE=∠ECD，
∴∠BAE+

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∠MCD=90°；

（3）如图3：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；
如图4：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACQ
∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．

点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握两直线平行，内错角、同位角相等，同旁内角互补．