Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点A（0，m）（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60°的射线l，在l上取点B，使AB=4k （k为正整数），并在l下方作∠ABC=120°，BC=2OA，线段AB，OC的中点分别为D，E．
（1）当m=4，k=1时，直接写出B，C两点的坐标；
（2）若抛物线y=-

1

k+2

x2+

2 3 (2k+1)

3(k+2)

x+m的顶点恰好为D点，且DE=2

7

，求抛物线的解析式及此时cos∠ODE的值；
（3）当k=1时，记线段AB，OC的中点分别为D₁，E₁，当k=3时，记线段AB，OC的中点分别为D₃，E₃，求直线E₁E₃的解析式及四边形
D₁D₃E₃E₁的面积（用含m的代数式表示）．

Answer 1

分析：（1）本题须分别求出点B、C到x轴和y轴的距离即可求出两点的坐标．
（2）本题须先求出B点的坐标和C点的坐标，然后根据三角形中位线的性质得出点D和E的坐标，再根据D恰为抛物线y=-

1

k+2

x2+

2 3 (2k+1)

3(k+2)

x+m的顶点即可得出抛物线的解析式，最后根据OD=OE=DE得出△ODE为等边三角形，从而可以得出cos∠ODE的值．
（3）本题须先分别求出E₁，E₃点的坐标然后即可得出直线E₁E₃的解析式，再根据D₁D₃=E₁E₃证出四边形D₁D₃E₃E₁为平行四边形，最后通过解直角三角形得出AQ的长，即可求出四边形D₁D₃E₃E₁的面积．

解答：解：（1）B点的坐标为（2

3

，6），C点的坐标为（4

3

，2）；
过点B作BF∥x轴，交y轴于点F，过点C作HG⊥x轴，垂足为G，交直线BF于点H，
∵当m=4，k=1时，A（0，m），AB=4，
∴AF=AB•cos∠EAB=4×cos60°=2，BF=AB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴OF=4+2=6，
∴B（2

3

，6），
同理可得出C点坐标为（6

3

，2）；

（2）当AB=4k，A（0，m）时，OA=m，与（1）同理可得B点的坐标为B(2

3

k，2k+m)，
C点的坐标为C(2

3

k+

3

m，2k)．
如图1，过点B作y轴的垂线，垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G，
两条垂线的交点为H，作DM⊥FH于点M，EN⊥OG于点N．
由三角形中位线的性质可得点D的坐标为D(

3

k，k+m)，点E的坐标为E(

3

k+

3 m

2

，k)．
根据坐标系中两点间距离公式和勾股定理得DE=

( 3 m 2 )2+m2

=

7

2

m．
∵DE=2

7

，∴m=4．
∵D恰为抛物线y=-

1

k+2

x2+

2 3 (2k+1)

3(k+2)

x+m的顶点，它的顶点横坐标为

3 (2k+1)

3

，
∴

3 (2k+1)

3

=

3

k．
解得k=1．此时抛物线的解析式y=-

1

3

x2+

2 3

3

x+4．
此时D，E两点的坐标分别为D(

3

，5)，E(3

3

，1)．
∴OD=2

7

，OE=2

7

．
∴OD=OE=DE．
∴此时△ODE为等边三角形，cos∠ODE=cos60°=

1

2

；

（3）E₁，E₃点的坐标分别为E1(

3 m

2

+

3

，1)，E₃(

3 m

2

+3

3

，3)．
设直线E₁E₃的解析式为y=ax+b（a≠0）．
则

( 3 m 2 + 3 )a+b=1 ( 3 m 2 +3 3 )a+b=3.

解得

a= 3 3 b=- m 2 .

∴直线E₁E₃的解析式为y=

3

3

x-

m

2

．
可得直线E₁E₃与y轴正方向的夹角等于60°．
∵直线D₁D₃，E₁E₃与y轴正方向的夹角都等于60°，
∴D₁D₃∥E₁E₃．
∵D₁，D₃两点的坐标分别为D1(

3

，m+1)，D3(3

3

，m+3)，
由勾股定理得D₁D₃=4，E₁E₃=4．
∴D₁D₃=E₁E₃．
∴四边形D₁D₃E₃E₁为平行四边形．
设直线E₁E₃与y轴的交点为P，作AQ⊥E₁E₃于Q．
可得点P的坐标为P(0，-

m

2

)，AP=

3

2

m．
∴AQ=AP•sin∠OPQ=AP•sin60°=

3 3

4

m．
∴S四边形D1D3E3E1=D1D3×AQ=4×

3 3 m

4

=3

3

m．

点评：本题着重考查了二次函数综合应用，在解题时要注意与平行四边形的判定和性质以及如何求面积相结合，本题综合性强，运用数形结合的数学思想方法解题是本题的关键．