Question

已知：如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，∠AOD=∠APC．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若AC=4CO，AP=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OP；
∵OP、OD是⊙O的半径，
∴OP=OD．
∴∠OPD=∠ODP（等边对等角）．
∵PD⊥BE（已知），
∴∠OCD=90°．
∴∠ODP+∠AOD=90°．
∵∠AOD=∠APC，
∴∠OPD+∠APC=90°，即∠APO=90°．
∵OP是⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；

（2）由（1）知，∠APO=90°，
则在Rt△APO中，AP²=AC•AO（射影定理）．
∵AC=4CO，AP=，
∴（2）²=AO•AO，
∴AO=5．
∴OP==，即⊙O的半径是5．
分析：（1）连接OP．欲证OP是⊙O的切线，直需证明OP⊥AO．
（2）在Rt△APO中，利用射影定理即可求得AO的长度．然后利用勾股定理来求半径OP的长度．
点评：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理．解答（2）题时，也可以采用相似三角形的对应边成比例来求AO的长度．