Question

按照下面的步骤做一做： (1) 任意写一个四位数 (2) 交换这个四位数的千位数字与十位数字、百位数字与个位数字，又得到一个数 (3) 求这两个数的和 再写几个四位数重复上面的过程，这些和有什么规律？这个规律对任意一个四位数部成立吗？请说明理由

Answer 1

答案：1．1021;
解析：

(2)

交换行位数字与十位数字、百位数字与个位数字，得一个数是2110

(3)

1021＋2110＝3131＝31×101 　　再写一个四位数5834，按要求所得数为3458，这两个数的和为5834＋3458＝9292＝92×101 　　再写几个四位数，发现这两个数的和都含有因数101，也就是这两个数的和是101的倍数．所以我们发现下面的规律：任意一个四位数，交换它的千位数字与十位数字、百位数字与个位数字，又得到一个数，那么这两个数的和是101的倍数．显然这个规律对任意一个四位数都成立，理由是： 　　设这个四位数的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则这个四位数为1000a＋100b＋10c＋d．交换千位数字与十位数字，百位数字与个位数字，所得的数为1000c＋100d＋10a＋b 　　这两个数的和是：(1000a＋100b＋10c＋d)＋(1000c＋100d＋10a＋b)＝1000a＋100b＋10c＋d＋1000c＋100d＋10a＋b＝1010a＋101b＋1010c＋101d＝1010(a＋c)＋101(b＋d)＝10×101(a＋c)＋101(b＋d)＝101(10a＋10c＝b＋d)．所以，这两个数的和是101的倍数。 　　解题指导：用字母表示四位数可以写成1000a＋100b＋10c＋d，再根据题意交换位置表示成1000c＋100d＋10a＋b，最后求和观察规律。