Question

【题目】定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．

（1）判断是否为友好函数，并说明理由；

（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；

（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）是，理由见解析；（2）；（3）或，且

【解析】

（1）根据友好函数的定义，求出函数与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；

（2）先求出函数与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；

（3）分一下三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图像可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．

解：（1）是友好函数．理由如下：

当时，；当时，或3，

∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是3．

故是友好函数．

（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．

∵是友好函数．

∴时，，即在上．

代入得：，而，∴．

（3）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，

即，显然当时，，

即与轴的一个交点为．

则，∴只需满足，即．

∴．

（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，

∴显然都满足为锐角．

∴，且．

（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．

综上所述，或，且．