Question

如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则OP的取值范围是________．

Answer 1

0≤OP≤
分析：将过点P且与OB平行的直线平移至P′的位置，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，根据条件证明△OQP′为等腰直角三角形，已知OQ=1，解直角三角形求OP′，确定OP的取值范围．
解答：解：如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，
由切线的性质，得∠OQP′=90°，
∵OB∥P′Q，
∴∠OP′Q=∠AOB=45°，
∴△OQP′为等腰直角三角形，
在Rt△OQP′中，OQ=1，
OP′==，
∴当过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，
当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．
故答案为：0≤OP≤．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．