Question

如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限，动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒。
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（单位长度）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请 写出点Q开始运动时的坐标及点P的运动速度；
（2）求正方形的边长及顶点C的坐标；
（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；
（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1）Q（1，0），点P的运动速度为每秒1个单位长度；
（2）如图，过点B作BF ⊥y轴于点F，BE⊥ x轴于点E，

则BF=8，OF=BE=4，
∴AF=10-4=6，
在Rt△AFB中，

过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=∠BCH，
又∵∠AFB=∠BHC=90°，AB=BC，
∴△ABF≌△BCH，
∴BH=AF=6，CH=BF=8，
∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，
∴所求C点的坐标为（14，12）；
（3）如图，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，
则△APM∽△ABF，
∴，
∴
∴PN=OM=10-，
设△OPQ的面积为S（平方单位），
则，
∵
∴当时，△OPQ的面积最大，
此时P点的坐标为；
 （4）当或时，OP与PQ相等。