Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD，对角线BD⊥AD，DE⊥AB于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）若AD=4，AE=2，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵DE⊥AB，AB∥CD，
∴DE⊥CD，
∴∠1+∠3=90°，
∵BD⊥AD，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵CF⊥BD，DE⊥AB，
∴∠CFD=∠AED=90°，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF．

（2）解：∵DE⊥AB，AE=2，AD=4，
∴∠2=30°，DE=，
∴∠3=90°-∠2=60°，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF=DF=．
分析：（1）求出∠1=∠2，求出∠CFD=∠AED=90°，根据AAS证出△ADE≌△CDF即可；
（2）求出∠2=30°，根据勾股定理求出DE，求出∠3=60°，根据全等三角形性质求出DE=DF，得出△DEF是等边三角形即可．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是求出∠1=∠2和求出△DEF是等边三角形，主要培养了学生运用性质进行推理和计算的能力．