题目内容

如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连接BD．
（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当 $数学公式$ =______时，△BDP的面积最大；
（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上何处时，△BDP的面积最大？

解：（1）1．

（2）如图2，过点D作DE⊥BC于E．
∴∠DEC=90°．
设PB=x．
∵BC=3，
∴PC=3-x．
∵PD∥AB，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=α，
∴DE= $\text{[math]}$ ．
∴S_△BDP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵α为任意锐角，∴0＜sina＜1．
∴- $\text{[math]}$ ＜0．
∴当x= $\text{[math]}$ 时，S_△BDP有最大值．
即P在BC中点时，△BDP的面积最大．
分析：（1）过点D作DE⊥BC于E，设PB=x，由PD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 $\text{[math]}$ ，则可求得CD的长，P在BC中点时，△BDP的面积最大，故应为 $\text{[math]}$ =1；
（2）过点D作DE⊥BC于E，设PB=x，由PD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 $\text{[math]}$ ，则可求得CD的长，由在Rt△DEC中，∠DEC=90°，设∠C=α，求得S_△BDP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．则可求得答案．
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，二次函数的最值问题，三角函数的应用等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．