Question

【题目】如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段上一动点以点为圆心，长为半径作交轴于点，分别交直线于点和点，连接并延长交于点．

（1）求直线的函数解析式和点的坐标；

（2）如图②，连接，当时，求证：并求点的坐标；

（3）当点在线段上运动时，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）证明见解析；；（3）最大值为．

【解析】

（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可得出结论；
（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；
②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；
（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．

解：（1）∵直线与轴交于点，

∴，

∴，

∴直线的函数解析式，

∴，

（2）①如图2，连接，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵四边形是的圆内接四边形，

∴，

∴，

∵，

∴，

②过点作于，

由①知，，

设，则，

∴，，

∴，，

∴，

由①知，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴（舍）或，

∴，，

∴，

（3）如图，设的半径为，过点作于，

∵，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

连接，

∵是直径，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴时，最大值为．